es más. Pues bien, los diversos valores de es-
tas variables independientes en un momento
dado y el modo peculiar de combinarlas, que
es muy propio de cada persona (es una re-
ceta personal), pueden determinar el “nivel”
de mi alegría en ese momento; pero nos inte-
resa destacar no sólo eso sino que, además,
la variación de las variables independientes
explica la de la variable dependiente.
El anterior es un ejemplo de variabili-
dad expresada en términos de dependencia
causal: hay fenómenos cuya variación es
efecto de la variación de las causas que los
producen. Pero muchas veces, la dependen-
cia que describe la variabilidad no se da en
esos términos de causa-efecto, sino en térmi-
nos de relación, de acompañamiento entre
variables. Esta relación puede presentarse de
diversas maneras.
Una de ellas ocurre cuando una de las
variables actúa como si sirviera de testigo, de
Carlos? Guadalupe.
de Inés”- algo así como: “mamá de” Inés? Guadalupe. Esta forma de representación tiene la
En el ejemplo del párrafo anterior, Inés
actúa como variable independiente para la
regla “ser la mamá de”, mientras que Guada-
lupeeslavariabledependientedelarelación.
En efecto, Guadalupe sólo aparece, como
mamá, cuando la maestra diga el nombre
de la niña; en otras palabras, la aparición de
Guadalupe “depende de” que sea nombrada
la niña; mientras la maestra diga el nombre
de otras niñas o de otros niños, Guadalupe
no se dará por aludida, pero en cuanto oiga
el nombre de su hija Inés se presentará como
su mamá. En este ejemplo podemos decir que
la consigna “es la mamá de” está esperan-
do el nombre de una niña o de un niño
(variable independiente) para que se le
asocie el nombre de su mamá (variable
dependiente). Esto incluye, por ejemplo,
el caso de que Inés tenga un hermanito en
el mismo salón (supongamos que se llama
Carlos): también se podrá decir “mamá de”
Hay muchas reglas o consignas de este
tipo que forman parte de nuestras conversa-
ciones, o de las cosas que se escriben y lee-
mos; por ejemplo, las relaciones familiares
[ser hermano(a) de, ser abuelo(a) de, etc.], las
relaciones del tipo “es la capital de” cuando
las aplicamos a ciudades que son capitales
de países, o de regiones, departamentos, pro-
vincias, municipios… También aparecen en
otras muchas situaciones diarias: ser el jefe de
(en una relación laboral), ser el siguiente de
(en una lista o en una cola), y un etcétera muy
largo. Incluso hay acciones que funcionan
como consignas; por ejemplo, pulsamos un
botón o una palanca y se prende una deter-
minada lámpara, o movemos un botón y van
apareciendo distintos canales de televisión o
distintas emisoras de radio…
En todas estas situaciones se dice que la
regla establece una correspondencia entre
elementos de los dos conjuntos que son afec-
tados por la relación; por ejemplo, entre el
7
acompañante, de referencia, de verificador de la variación de la otra variable (sin ser su causa
directa, en términos de acción). En estos términos y en esta vida mortal, hay una variable inde-
pendiente por excelencia: el tiempo.
El tiempo parece “transcurrir” por su cuenta sin que nadie lo empuje ni lo detenga y en su
transcurso se hace manifiesta la variación de un sinnúmero de variables; por ejemplo, todas
las variables personales, sean físicas o psicológicas; y otras muchas más, como las ya citadas:
medidas diariamente a lo largo de un año, las temperaturas extremas, las precipitaciones, las
horas de salida y puesta del sol, los niveles máximos de presión atmosférica y de humedad, el
número de inasistencias de alumnos a nuestro centro escolar; medidas a lo largo de los meses
o de los años, el número de viviendas construidas en un país, el crecimiento en peso o en es-
tatura de un niño…; o, también, la distancia d recorrida por un vehículo que se mueve a una
velocidad constante v durante cierto período de tiempo t [d = vt ].
En todos estos casos, el tiempo no “produce” la variación que se puede observar y medir
en cada una de esas variables; no es el factor que la causa en términos de producción física,
pero sí acompaña esa variación y le sirve de referencia y control. Por ejemplo, la siguiente
tabla de valores relaciona la variable “estatura de un niño”, medida mensualmente en centí-
metros, con la variable tiempo, medida en meses a lo largo de un año:
Evidentemente, el tiempo no produce la variación en la estatura del niño (ésta depende
“causalmente” de los aspectos genéticos, de la alimentación y de las condiciones sanitarias
que afectan al niño); pero sí sirve de control y referencia para su variación. Así, decimos que en
Enero el niño mide 127 cm, o que la estatura de 133 cm se alcanza en Octubre; es decir, que
para cada valor de medida del tiempo, se puede asociar algún valor de la estatura del niño. Y
este tipo de relación es suficiente para establecer que, en esta situación, el tiempo actúa como
variable independiente con respecto a la variable dependiente estatura del niño.
Otra de las maneras en que la dependencia de una variable con respecto a una segunda
se da en términos de relación, de acompañamiento entre variables, es la que acontece cuando
existe una regla o una fórmula que liga ambas variables. Por ejemplo, en una reunión escolar
de los alumnos con sus mamás, si por un lado tenemos el conjunto de niños y niñas de un sa-
lón de clase y, por otro, el conjunto de sus mamás, la regla o consigna “ser la mamá de” asocia
a cada niño o niña con su mamá.
Veamos este caso con más detalle. Si la mamá de Inés es Guadalupe, entonces podríamos
representar esta relación –además de verbalmente, al decir sin más “Guadalupe es la mamá
virtud de destacar los elementos que forman parte de la relación establecida: “mamá de” es la
regla o consigna, Inés es la niña, Guadalupe es la mamá de Inés.
chua ? texto en castellano; el texto en quechua se considera como variable independiente,
asociando pares de números naturales: “el doble de” 4 ? 8, situación en la que 4 funge de
conjunto de alumnos y el conjunto de sus mamás, la regla nos dice que Inés y Guadalupe
están en correspondencia, así como Carlos y Guadalupe.
Además, en cada uno de estos casos identificamos como variable independiente
aquel nombre de persona u objeto al que se le aplica la regla, y como variable depen-
diente, aquel nombre de persona u objeto que resulta de esa aplicación. Por ejemplo, si
Tomás trabaja subordinado a Ángela, decimos “jefe de” Tomás ? Ángela; Tomás actúa como
variable independiente y Ángela, como variable dependiente. Ojo con este ejemplo: estamos
hablando de variables dependientes o independientes en sentido matemático, aun cuando en
el terreno laboral sea Tomás quien dependa de Ángela, su jefa.
Estas reglas o fórmulas también funcionan en otras situaciones, tales como las traduccio-
nes. Por ejemplo, traducir un texto escrito en quechua al castellano entra en el esquema del
que estamos hablando; podría escribirse como regla de esta manera: “Traducir texto en” que-
y el texto traducido al castellano, resultado de esa traducción, como variable dependiente: lo
que se va a escribir en castellano depende de lo que esté escrito en quechua.
El ejemplo anterior nos introduce en un ámbito muy interesante, el de los diversos
lenguajes; tenemos la escritura en signos telegráficos (Morse), en signos para ciegos
(Braille), mediante signos manuales y corporales para sordomudos, etc. Traducir textos
de un lenguaje a otro se incluye en este ámbito de las relaciones establecidas mediante
reglas o consignas.
También podemos destacar aquí la criptografía [del griego: kriptós, oculto, y –grafía,
escritura. 1. f. Arte de escribir con clave secreta o de un modo enigmático]. Es el arte –y
hoy día, una rama de las matemáticas- de la escritura en clave, muy utilizada en el ám-
bito militar y en el de los negocios, y cada vez que deseamos decir algo que queremos
sea captado sólo por el grupo de destinatarios que nos interesa, grupo que debe estar
al tanto de las claves de traducción utilizadas. Estas claves pueden consistir en cambiar
unas letras por otras, o por números o símbolos, etc.
Por cierto, un caso cotidiano de esta práctica lo tenemos en la elaboración de los men-
sajes de texto que enviamos por medio de los móviles o celulares. Por ejemplo, pulsar
dos veces seguidas la tecla numérica 2 “se traduce” en la letra b; y así para las demás
letras. Evidentemente, existe un mecanismo interno en el aparato encargado de estas
traducciones.
Y como no podía faltar, las reglas, consignas y fórmulas también están presentes en el
propio mundo de los objetos matemáticos. Por ejemplo, la regla de “ser el doble de” puede ir
8
variable independiente, y 8, de variable de-
pendiente; o también, “la mitad de” 8 ? 4,
situación en que las variables independiente
y dependiente son, ahora, 8 y 4, respectiva-
mente.
En el mundo matemático, estas reglas
vienen representadas de diversas maneras.
Tomemos el caso sencillo de la suma de dos
números naturales; la regla podría denotar-
se así: “suma de” [sumando 1º] y [sumando
2º]? resultado de la suma. La “regla” de su-
mar viene dada por las tablas básicas de la
suma y por las normas que rigen los algorit-
mos o procedimientos para sumar. Igual ocu-
rre con las demás operaciones aritméticas.
Entre estas últimas, detengámonos por
un momento en el caso de las operaciones de
sumar, restar y multiplicar. En ellas observa-
mos que la variable dependiente (el resultado
de cada una de las operaciones: la suma, la
diferencia, el producto, respectivamente) de-
pende de un par de variables independientes
(los dos sumandos, el minuendo y el sus-
traendo, los dos factores, respectivamente).
Son, pues, situaciones en las que la variable
dependiente depende de más de una variable
independiente. Claro que, en algunos casos
particulares, esa dependencia puede reducir-
se a la de una sola variable independiente;
esto es lo que ocurre, por ejemplo en las ta-
blas de sumar y de multiplicar, cuando toma-
mos una tabla en particular. Así, dentro de la
tabla de multiplicar del 5, el producto depen-
de tan sólo del factor variable por el que se
va a multiplicar el 5: “multiplicar por 5” el
factor 7? 35.
También cabe destacar que estas opera-
ciones, con sus reglas particulares (tablas y
algoritmos) y sus variables independientes y
dependiente, poseen sus propios símbolos de
descripción: a + b = c, m – n = p, r x s = t,
respectivamente.
9
Un caso muy singular representa la
operación de división, ya que como se
indicó en el Cuaderno Nº 7, de los valo-
res que posean el dividendo y el divisor
dependen los valores del cociente y del
resto; es decir, cociente y resto son las
variables dependientes, mientras que
dividendo y divisor actúan como varia-
bles independientes.
Vemos, pues, que en el caso de las ope-
raciones aritméticas, la regla de dependencia
entre las variables independientes y depen-
dientes viene dada por las tablas y los algo-
ritmos de dichas operaciones. Pero hay otros
casos en el terreno matemático en el que
esta dependencia se concreta todavía más,
tomando el aspecto de verdaderas fórmulas
que relacionan las variables independientes
(que pueden ser más de una) con una varia-
ble dependiente.
Tal es el caso, por ejemplo, del perímetro
p de un cuadrado cuyo lado mida l unidades;
en la forma en que venimos describiendo
esta relación pondríamos: “multiplicar por 4
la longitud del lado” l ? p. Pero la forma
habitual de indicarlo es: p = 4l. De manera
similar, para expresar el área A de un rectán-
gulo cuyos lados miden b y h disponemos de
la fórmula: A = bh.
Con el fin de resumir lo que venimos
diciendo acerca de las formas de relacionar
las variables dependientes e independientes
en el caso de los objetos matemáticos, vamos
a construir una tabla en la que se indicarán,
para varios de estos objetos, las variables que
intervienen y, en los casos en que sea posible,
la fórmula que liga las variables:
Bien. Vamos a detenernos un momento
con el fin de resumir, a grandes trazos, las
ideas expuestas hasta ahora:
1.Existen fenómenos, situaciones, obje-
tos, que muestran variabilidad en los
valores o niveles en los que se mani-
fiestan.
2.Esta variabilidad revela una situación
de dependencia de ciertas variables
(dependientes) con respecto a otras
(independientes).
3.La dependencia puede ser causal o de
relación; la primera revela situaciones
de causa-efecto entre las variables
independiente(s) y dependiente.
4.La relación de dependencia no cau-
sal puede manifestarse:
· por la presencia de una variable
independiente (por ejemplo, el
tiempo) que sirve de referencia para
registrar la variación de la variable
dependiente;
· mediante la expresión de una re-
gla o consigna, que establece una
correspondencia entre las variables
independiente y dependiente; regla
que puede expresarse de manera
verbal o en forma de algoritmos
matemáticos;
· mediante una fórmula matemá-
tica que liga la(s) variable(s) inde-
pendiente(s) con la variable depen-
diente.
10
2. La función matemática
El recorrido anterior nos coloca frente al fenómeno de la variación de ciertas variables de
los mundos físico, social y mental, variación que puede interpretarse en términos de depen-
dencia de unas variables con respecto a otras, tal como acaba de describirse. Este fenóme-
no variación-dependencia tampoco resulta ajeno a la matemática (que, como se ve, está en
todo…), disciplina que lo ha tomado como objeto de estudio.
Pues bien, en este terreno, el objeto matemático que sirve de pivote para el estudio
de los fenómenos de variación-dependencia entre variables se denomina función.
Obsérvese que ya el término forma parte de nuestro vocabulario habitual; por ejemplo,
solemos escuchar: “el aumento del sueldo [variable dependiente] se hará en función de la
productividad del empleado y de la disponibilidad de recursos de la empresa [variables inde-
pendientes]”, “la decisión de ir de paseo [variable dependiente] se tomará en función de las
condiciones climatológicas” [variables independientes]; y muchas otras expresiones que el (la)
lector(a) puede agregar por su cuenta.
2.1 El concepto de función matemática
No es fácil dar una definición precisa –una sola- del concepto de función ya que, como
hemos visto, la dependencia entre variables se manifiesta de diversas maneras: causal o rela-
cional; y dentro de esta última categoría, como relación con una variable de referencia, como
regla que establece correspondencias, o como fórmula. Lo mejor es quedarse con esta diversi-
dad: la función puede entenderse –y aceptarse- como la expresión de una dependencia causa-
efecto, o como una relación entre variables que puede adoptar la forma de una regla, de una
correspondencia entre elementos de al menos dos conjuntos, o de una fórmula. Y dejar que el
contexto en el que se utilice sea el factor determinante para definir la función en cada caso.
Desarrollo histórico del concepto de función
El concepto de función –y el propio término que lo designa- son de aparición relativamente
tardía en la historia de la matemática. En opinión de Kline (1992), el fenómeno físico cuyo
estudio sirve de punto de partida para que empiece a hablarse de relaciones funciona-
les entre variables (aunque no se utilicen estos términos) es el del movimiento. Ya Galileo
(1564-1642) lo estudia y establece algunas relaciones (fórmulas), en el lenguaje de las pro-
porciones, entre las variables espacio recorrido, velocidad, aceleración y tiempo, según sea
el tipo de movimiento; cabe agregar que este fenómeno también se estudia a partir de las
curvas que lo representan.
La definición más explícita de función dada en el s. XVII, es ésta de Gregory (1667): “Canti-
dad que se obtiene de otras cantidades mediante una sucesión de operaciones algebraicas
o mediante cualquier otra operación imaginable”. Por esas mismas fechas, Leibniz (1673)
designa como función “cualquier cantidad que varía de un punto a otro de una curva”.
Y Jean Bernoulli (1697): “Cantidad formada, de cualquier manera posible, de variables y
constantes”. Y nuevamente Leibniz (1714): “Cantidad que depende de una variable” (Kline,
o. c., p.449).
Ya avanzado el siglo XVIII, Euler (1748) se refiere a una función como “cualquier expresión
analítica [es decir, una fórmula] formada, de modo arbitrario, a partir de una cantidad va-
riable y de constantes” (Id., p. 539). Este es el concepto predominante en ese siglo, aunque
también se oyen otras versiones, como ésta del propio Euler (1755): “Si unas cantidades de-
pendendeotrasdetalmodoquesufrenunavariacióncuandoestasúltimasvarían,entonces
se dice que las primeras son funciones de las segundas” (Id., p. 672).
A caballo entre los siglos XVIII y XIX, Lagrange (1797) continúa concibiendo las funciones
al estilo predominante hasta ese momento: “Función de una o varias variables: cualquier
expresión útil para el cálculo en que dichas variables intervienen de cualquier manera”. Y
también: “Una función es una combinación de operaciones” (Id., p. 541).
En el siglo XIX se introducen algunas precisiones en los conceptos y en los términos uti-
lizados. Así, Cauchy (1821) escribe: “Se llama variable a una cantidad que se considera
tiene que tomar sucesivamente muchos valores diferentes unos de los otros”. “Cuando se
relacionan cantidades variables entre ellas de modo que estando dado el valor de una de
éstas, se puedan determinar los valores de todas las otras, ordinariamente se concibe a estas
cantidades diversas expresadas por medio de la que está entre ellas, la cual entonces toma
el nombre de variable independiente; y las otras cantidades expresadas por medio de la va-
riable independiente son aquellas que uno llama funciones de esta variable” (Id., p. 1254).
Finalmente, Dirichlet (1839) se expresa en términos matemáticos más precisos: “y es una
función de x cuando a cada valor de x en un intervalo dado, le corresponde un único valor
de y. No importa si en todo este intervalo y depende de x de acuerdo a una ley o más, o si
la dependencia de y con respecto a x puede expresarse por medio de operaciones matemá-
ticas” (Id., p. 1254).
Como puede apreciarse, los intentos por dar un concepto de función presentan la misma di-
versidad que hallamos en la descripción de la dependencia entre variables. Algunos autores
destacanlarelacióndedependenciaodevariaciónconjuntaentrelasvariables,porencima
de su concreción en una fórmula; otros exigen la necesaria presencia de un algoritmo o de
una fórmula que permita obtener los valores de la variable dependiente; finalmente, otros
insisten en la necesidad de que se puedan precisar estos valores de la variable dependiente,
aun cuando la forma de conseguirlo sea arbitraria (empírica) y no responda a una fórmula
precisa. También cabe destacar que algunos autores interpretan la expresión “la variable
dependiente es función de la variable independiente” como una identificación entre los
conceptos y términos “función” y “variable dependiente”.
Hasta ahora hemos manejado los fenó-
menos variación-dependencia entre variables
sin mayores restricciones. Y hemos descu-
bierto que, históricamente, ese tipo de fenó-
menos ha sido estudiado por la matemática
mediante la introducción del objeto matemá-
tico función. A este respecto, fijémonos por
un momento en el concepto presentado por
Dirichlet: “y es una función de x cuando a
cada valor de x en un intervalo dado, le co-
rresponde un único valor de y ”.
Nota: Al hilo de la observación de Di-
richlet, a partir de este momento nos ce-
ñiremos al estudio de las funciones en
las que intervengan una variable depen-
diente y una sola variable independi-
ente, sin que esta restricción afecte a lo
esencial de este estudio de las funciones
matemáticas.
Aquí, además del uso de cierta notación
muy precisa (y, x, intervalo), se está impo-
niendo una restricción muy concreta al con-
cepto matemático de función: que a cada
valor de la variable independiente (x) en
un conjunto de valores dado (en un inter-
valo dado), le corresponda un único va-
lor de la variable dependiente (y). En otras
palabras, si a algún posible valor de la varia-
ble independiente no le corresponde ningún
valor de la variable dependiente, o bien, si le
corresponde más de un valor de la variable
dependiente, la relación de dependencia que
estamos estudiando no será una función en
sentido matemático.
Bueno, a lo mejor el párrafo anterior nos
ha dejado sorprendidos y en el aire… Parece
romperelhilodeldiscursoquetraíamoshasta
aquí. Yes que se nos está olvidando algo muy
importante: todo concepto se expresa me-
diante algún(os) sistema(s) de representación;
11
vamos a hablar de este aspecto de las fun-
ciones matemáticas y, después, volveremos
sobre las afirmaciones del párrafo anterior.
2.2 Notación y sistemas
de representación de una función
De entrada, tenemos que adoptar algún
sistema básico de representación de una fun-
ción. Hasta hora hemos hablado de variables
independientes y dependientes; esto nos
hace suponer que existen sendos conjuntos
que contienen los posibles valores de ambos
tipos de variables. Así hablaremos del con-
junto de partida o dominio de la función;
igualmente, del conjunto de llegada o co-
dominio de la función. La regla o forma de
hacer corresponder a cada valor de la varia-
ble independiente un valor de la variable de-
pendiente representa la función.
Si designamos con las letras A y B los
conjuntos de partida y de llegada, respec-
tivamente (el dominio y el codominio de
la función), por x e y sendos elementos de
esos conjuntos, y por f la función, podemos
representar todo lo anterior de la siguiente
manera:
f :A? B
de tal forma que, a nivel de
elementos, tenemos:
x ? y ó x ? f(x)
o también: f ( x ) = y
Expresión que leemos: y es imagen
de x mediante la función f.
12
En algunas oportunidades –no en todas,
como hemos visto–, la regla puede escribirse
en términos matemáticos; por ejemplo, tome-
mos este caso sencillo en que cada número
de la columna de la izquierda se relaciona
con uno de la derecha:
1 ? 3
2 ? 6
3 ? 9
4 ? 12
El dominio de la función es el conjunto
C = {1, 2, 3, 4} y el conjunto de llegada, D
= {3, 6, 9, 12}; la función es muy sencilla:
es la regla “multiplicar por 3”. De este modo
escribiremos:
f :C? D
de tal forma que, a nivel de elementos,
tenemos: x? y ó x? f (x)
o también: x? 3x ó f (x) = 3x
La última expresión es la más operativa;
así, f (1) = 3 x 1 = 3, f (4) = 3 x 4 = 12, etc.
Vayamos ahora a la restricción de la que
nos habla Dirichlet: que a cada valor de la
variable independiente (x) en un conjunto de
valores dado (en un conjunto de partida), le
corresponda un único valor de la variable de-
pendiente (y) (en un conjunto de llegada).
Si tomamos el caso de los niños y niñas
de un salón de clase (conjunto de partida E)
y el grupo completo de sus mamás (conjunto
de llegada L), y como regla m “ser la mamá
de”, podemos escribir: m (Inés) = Guadalupe;
y también, m (Carlos) = Guadalupe. Y así se-
ría con cada pareja niño(a) – mamá.
¿La regla m puede calificarse como fun-
ción? Desde luego, cada niño(a) sólo tiene
una mamá, de modo que a cada uno(a) de
ellos(as) no le corresponde más de una “ima-
gen”; pero si en el grupo de niños(as) hay
alguno(a) cuya mamá murió, entonces ese
niño(a) no tiene “imagen” según esta regla,
por lo cual m no sería una función; evidente-
mente,sinohayningún(a)niño(a)huérfano(a)
de mamá, m sí es una función. Y, ojo, no im-
porta si Inés y Carlos tienen la misma imagen,
Guadalupe; lo único que importa es que cada
niño(a), sin excepción, tenga a su mamá pre-
sente.
Supongamos ahora que trabajamos con
los mismos conjuntos, pero con la regla h “ser
hijo(a) de”. Evidentemente, el conjunto de las
variables independientes es ahora L y el de
las dependientes, E (¿de acuerdo?). Así, se
expresará: h (Guadalupe) = Inés [Inés es hija
de Guadalupe]; y también, h (Guadalupe) =
Carlos [Carlos es hijo de Guadalupe]. Como
se aprecia, h no es una función en sentido
matemático, ya que al elemento Guadalupe
del conjunto de partida le corresponden dos
imágenes, Inés y Carlos, en el conjunto de
llegada.
a
a
a
2
2
2
e
e
e
Como puede observarse, las condiciones para que la situación refleje la presencia de una
función matemática atañen solamente a los elementos del conjunto de partida; en el conjunto
de llegada puede haber elementos que no sean imagen de ninguno del conjunto de partida
(casos 3, 5 y 7), o que lo sean de más de un elemento del conjunto de partida (casos 4 y 7), o
que se den ambas condiciones simultáneamente (caso 7); pero esto no impide que se esté en
presencia de una verdadera función en sentido matemático.
Conviene hacer notar que el conjunto de elementos del conjunto de llegada que son ima-
gen de algún elemento del conjunto de partida, recibe el nombre de rango o recorrido de
D
B
C
1
2
3
4
D
B
C
A
1
2
3
B
C
A
2
3
4
X
1
b
d
c
Y
a
2
3
X
1
la función; también se le conoce como con-
junto imagen. Las observaciones del párrafo
anterior pueden ahora enunciarse diciendo
que el rango o conjunto imagen no tiene por
qué coincidir con el codominio o conjunto
de llegada de la función.
Y vamos a otro punto muy importan-
te: ¿Recuerdan la diversidad de sistemas
de representación que encontramos para
el concepto de fracción (Cuaderno Nº 9)?
Pues bien, algo similar ocurre en el caso de
las funciones. Vamos a ver algunos de estos
sistemas mediante los cuales manifestamos la
variabilidad y dependencia de determinadas
variables dependientes en relación con otras
variables independientes.
a.Verbal:Incluyehastalasmanifestacio-
nes de nuestros sentimientos o pensamientos;
pero hacemos énfasis particularmente en las
reglas o consignas: “ser la madre de”, “ser la
cuarta parte de”, “ser el siguiente de”, “ser el
doble de…, más 3 unidades”, etc.
En este sentido, una función se aseme-
ja a una máquina en la cual se introduce un
elemento x y cuya salida correspondiente es
f (x):
X
f (x)
b. Tablas de valores: Tablas en las que
aparecen explícitamente los pares de valores
[variable independiente – variable depen-
diente] que expresan la correspondencia que
define determinada función. Como ejemplos
nos pueden servir las tablas que recogen dia-
riamente y a lo largo de un año las temperatu-
ras extremas, las precipitaciones, las horas de
salida y puesta del sol, los niveles máximos
13
1. Si llevamos estas condiciones a un sistema de representación gráfico, podemos con-
siderar los siguientes 7 casos y preguntar: ¿En qué casos no estamos en presencia de una
función?
Y Y Y
X X X
1 b 1 b 1 b
c c c
d d d
3 3 3
Caso 1 Caso 2 Caso 3
X Y X Y
Caso 4
Y
D
Caso 5
Caso 6
Caso 7
máquina
f
de presión atmosférica y de humedad, el número de inasistencias de alumnos a nuestro centro
escolar, etc. O también, las tablas en las que recogemos las estaturas de nuestros alumnos al
inicio de un curso escolar, o sus pesos.
He aquí unos ejemplos de funciones representadas mediante tablas de valores:
1) Pesos (en Kg) de los 11 jugadores del equipo de fútbol de la clase:
2) Número de víctimas –heridos o muertos- en accidentes de tránsito durante una
semana en el país:
3) Impuesto al valor agregado (IVA) pagado en pesos por las compras efectuadas o
los servicios solicitados por una familia durante los cuatro fines de semana de un mes
(tasa: 12%):
2. En cada uno de los tres casos
anteriores:
a) ¿Cuál es la variable independiente?
b) ¿Y la variable dependiente?
c) ¿Cuál es el dominio de cada
función?
d) ¿Y el codominio?
Como puede apreciarse, el uso de ta-
blas de valores para representar funciones es
muy apropiado para el caso de las llamadas
14
3. Establezca la relación de correspon-
dencia existente entre las siguientes
montañas y los países en que se encuen-
tran (puede hacerlo con flechas pero
además, en este caso y para contrastarla
con la respuesta al final del Cuaderno,
indique como respuesta los pares “letra
número” adecuados):
4. En el ejemplo anterior:
a) ¿Cuáles son los elementos del con-
junto de llegada que no pertenecen al
rango de la función?
b) ¿Con qué regla o consigna identifica-
ría la función de este ejemplo?
Comentario 1
El ejemplo anterior nos brinda la opor-
tunidad de apreciar la necesidad de
definir con precisión el dominio de
la función. Si hubiéramos planteado
la consigna general “está ubicada en”,
aplicada al conjunto de partida {mon-
tañas de Suramérica}, no estaríamos en
presencia de una función, ya que exis-
funciones empíricas, aquéllas en las que hay
que referirse a valores de la variable depen-
diente que son recogidos de una forma em-
pírica, es decir, tal como se presentan en la
propia realidad.
c. Diagramas de Venn: Son gráficas
como las siete que aparecen en el ejercicio
1 que acabamos de proponer. Como se pue-
de apreciar, en estos diagramas se muestran
los conjuntos de partida y de llegada con sus
respectivos elementos y las corresponden-
cias establecidas entre éstos, representadas
por flechas de unión. Esta representación
sólo es útil en el caso de que los conjun-
tos de partida y de llegada contengan pocos
elementos.
ten algunas montañas que se consideran
“compartidas” por más de un país; tal es
el caso, por ejemplo, de Ojos del Salado,
Tupungato y Volcán Llullaillaco, los tres
entre Chile y Argentina, o el Volcán Pa-
rinacota entre Bolivia y Chile, etc. Esto
significaría que estos elementos del do-
minio tendrían más de una imagen, con
lo cual esta correspondencia dejaría de
ser una función. Como esto no ocurre
con el conjunto de montañas señalado
en el ejercicio, estamos en presencia de
una verdadera función.
d. Gráficas cartesianas: Son gráficas
que se construyen a partir de dos ejes de refe-
rencia –llamados ejes de coordenadas–, uno
horizontal (eje de abscisas) y otro vertical (eje
de ordenadas). Habitualmente, en el primero
se colocan los valores de la variable indepen-
diente como si se tratara de una recta real, or-
denados y crecientes de izquierda a derecha;
y en el eje vertical se colocan los valores de la
variable dependiente, también como si se tra-
tara de una recta real, ordenados y crecientes
de abajo hacia arriba. Los valores de ambas
variables deben ser, pues, numéricos.
En Cuadernos anteriores ya hemos uti-
lizado gráficas referidas a estos dos tipos de
ejes, horizontal y vertical, en los que se ubi-
can los valores de los datos de dos variables
diferentes; por ejemplo, las que representan
el número de viviendas construidas en un
país a lo largo de varios años (histograma)
[Ver Cuaderno Nº 17, p. 27], o el número
de inasistencias diarias de alumnos a nuestro
centro escolar (gráfica de barras) [Ver Cuader-
no Nº 17, p. 11].
Pero ahora hay una diferencia de trata-
miento con estos datos o valores de las varia-
bles, al llevarlos a la gráfica. Así, en referencia a la gráfica de barras, ya no nos interesa levantar
una barra completa desde el punto del valor de la variable independiente en el eje horizontal;
ahora nos interesa tan sólo marcar el punto de “altura” (ordenada) que está en el extremo su-
perior de la barra. Porque la gráfica cartesiana es una gráfica de puntos, de valores de la
variable dependiente (de ordenadas).
Si la variable independiente es continua –es decir, puede tomar todos los valores com-
prendidos entre dos extremos, como ocurre en el caso del tiempo- tendremos como gráfica
una línea de trazos continuos, formada por la secuencia de puntos (valores) de la variable
dependiente que van correspondiendo a la secuencia de puntos (valores) de la variable in-
dependiente; en caso contrario, la gráfica se compondrá de puntos aislados. Un ejemplo del
primer caso es el de la gráfica de la distancia recorrida por un móvil en un lapso de tiempo
determinado; y del segundo caso, el número de alumnos inasistentes a la escuela durante los
días de un mes determinado. Evidentemente, el uso de gráficas cartesianas resulta más adecua-
do para el caso en que la variable independiente sea continua.
He aquí ahora un par de ejemplos de fun- La gráfica nos “describe” la distancia re-
ciones representadas por gráficas cartesia- corrida en función del tiempo transcu-
nas: rrido; así, vemos que en los 20 primeros
minutos se llegan a recorrer 10 km, a una
1) En el eje de abscisas colocamos la varia- velocidadconstante;después,hayundes-
ble tiempo t medida en minutos (en inter- canso de 10 m; posteriormente, el ciclista
valos de 10 m); y en el eje de ordenadas, avanza 15 km durante 20 minutos, a una
la variable distancia d recorrida por una velocidad constante, algo mayor que la
persona que pasea en bicicleta, medida inicial del paseo (quizá ahora le tocó ir
en km (en intervalos de 5 km). cuesta abajo…); vuelve a descansar otros
10 minutos y, finalmente avanza 5 km en
10 minutos; en total, ha recorrido 30 km
en 70 minutos de paseo.
2) Ahora, en el eje de abscisas volvemos
a colocar la variable tiempo t medida en
minutos (en intervalos de 5 m); y en el eje
de ordenadas, la variable velocidad v que
va alcanzando un carro, medida en km/h
(en intervalos de 20 km/h).
He aquí la descripción de la variación
de la velocidad en función del tiempo
transcurrido; vemos que el móvil parte
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del reposo y que durante 5 minutos va
acelerando de manera constante hasta al-
canzar la velocidad de 60 km/h; después,
mantiene esa velocidad durante 10 mi-
nutos, y en los 5 minutos siguientes des-
acelera hasta alcanzar una velocidad de
40 km/h; en ese instante vuelve a acelerar
de manera constante durante 5 minutos y
alcanza la velocidad de 80 km/h; y en los
10 últimos minutos, sigue acelerando con
una intensidad constante hasta llegar a la
velocidad de 120 km/h.
5. En los dos ejemplos anteriores:
a) ¿Cuáles son los dominios de cada
función?
b) ¿Cuáles son los conjuntos de
llegada en cada caso?
c) ¿Cuáles son los rangos de cada
función?
John Venn (1834-1923) fue un lógi-
co británico que popularizó el uso de
diagramas para la explicación y com-
prensión de las reglas de la lógica y, por
16
ende, de la teoría de conjuntos. En cuanto al calificativo de cartesianas aplicado a ciertas
gráficas, proviene del apellido de René Descartes (1596-1650), filósofo, matemático y
científico francés, cuyos planteamientos tuvieron una gran influencia en el pensamiento
occidental posterior. En el caso de las matemáticas, introdujo el sistema de coordenadas
que permitió, entre otras cosas, traducir a expresiones algebraicas lo que hasta el momen-
to eran gráficas geométricas de determinadas curvas, con lo que prestó una herramienta
importante para su estudio y, en general, para el de las funciones matemáticas.
e. Fórmulas: Son expresiones algebraicas (pueden incluir números y símbolos literales) que
expresan la relación existente entre las variables independientes y la variable dependiente.
Por ejemplo, para el área A de un cuadrado de acuerdo con la medida l de su lado [A = l 2] o
para el área A de un círculo con respecto a la medida r de su radio [A = ?r 2]; para la longitud
c de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, conocidas las medidas a y b de sus catetos
[c = ], o para la distancia d recorrida por un móvil de acuerdo con la velocidad v que
lleva y el tiempo t en que se mueve a esa velocidad de manera constante [d = v t ]. Como
puede apreciarse, la representación de una función por medio de fórmulas no es siempre
posible.
6. Una persona cuenta un secreto a 6 personas, y cada una de éstas se lo cuenta a otras
6 personas diferentes. Si el chisme se propaga a esta velocidad, a) ¿cuántas personas lo
conocen al cabo de tres rondas?; b) ¿y al cabo de n rondas [ésta es la fórmula de la fun-
ción]?
2.3 Traducciones entre sistemas de representación de una función
Bien; acabamos de toparnos con la diversidad en cuanto a la tarea de representar el
concepto de función: existen, al menos, cinco posibles sistemas de representación. A
estas alturas del curso, la situación no es nueva; ya la previnimos en el propio Cuaderno
nº 1: buscamos construir una matemática que asuma y genere diversidad. En particular, la
“diversidad en los sistemas de representación de un concepto es algo tan importante que los
autores estiman que una persona llega a dominar un concepto matemático sólo cuando es
capaz de:
– identificarlo en cualquiera de sus posibles sistemas de representación;
– representarlo en todos ellos;
– saber pasarlo –“traducirlo”– de cada sistema a todos los demás” (Cuaderno nº 1).
En el Cuaderno nº 9 seguimos esa línea de trabajo al tratar el tema de las fracciones. Y
vamos a hacerlo también ahora en el caso de las funciones. Por consiguiente, debemos llegar
a alcanzar estas tres competencias:
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